Questo è il primo di una serie di articoli contenenti problemi che il lettore è invitato a risolvere, seguendo una traccia proposta nel testo. Le conoscenze richieste, di solito, non sono superiori a quelle di seconda liceo scientifico. L’obiettivo è infatti, piuttosto, quello di evidenziare strategie risolutive semplici ed efficaci.
Dato un quadrato \(ABCD\) di lato unitario, siano \(E\), \(F\) e \(G\) i punti medi dei segmenti \(AD\), \(EC\) e \(BF\) rispettivamente. Calcolare l’area del triangolo \(BDG\).
Un disegno ben fatto è spesso un ottimo punto di partenza. Nel fare il disegno, infatti, si evidenziano vincoli geometrici che possono essere in seguito tradotti in termini matematici e aiutare a risolvere il problema. Ad esempio, nel disegnare il quadrato, noterai la posizione simmetrica di \(F\) rispetto ai lati del quadrato \(AD\) e \(BC\). La presenza di diverse linee che si intersecano può creare un po’ di confusione.
- Concentrati allora sul triangolo \(\triangle BDF\). Noterai che \(DG\) è la mediana relativa al lato \(FB\).
- Che relazione sussiste tra l’area cercata, cioè quella di \(\triangle BDG\), e quella di \(\triangle BDF\)?
- Possiamo quindi determinare prima l’area di \(\triangle BDF\) e poi ricavare quella richiesta dividendo per due…
- Torniamo ora alla posizione simmetrica del punto \(F\) e cerchiamo di far uso di questa informazione. Traccia dal punto \(F\) le parallele ai lati dei quadrato.
- Sfrutta il fatto che le rette che hai tracciato bisecano il segmento \(EC\) per determinare, usando il Teorema di Talete, le distanze di \(F\) da \(BC\) e da \(CD\).
- Puoi ora ricavare l’area di \(\triangle BDF\) sottraendo all’area del quadrato quella di \(3\) triangoli, di cui puoi calcolare l’area, grazie a quanto ricavato nel punto 5. Quali sono questi triangoli? Qual è la loro area?
- Effettua la sottrazione e dividi per due l’area ottenuta, in modo da determinare \(\mathcal A_{BDG} = \frac{1}{16}\).