Completiamo il discorso iniziato in un post precedente, riguardo alle funzioni non differenziabili ma con derivata destra definita in ogni punto di un intervallo. Se la funzione è continua, allora dal segno della derivata destra in un intervallo possiamo trarre delle conclusioni sulla monotonia della funzione.
Teorema. Sia \(f(x)\) una funzione continua in un intervallo \([a,b]\), per la quale è definita, in \([a,b)\) la derivata destra
\[f’_+(x) = \lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.\]
Se \(f’_+(x)\geq 0\) per ogni \( x \in [a,b)\), allora, per ogni \(a\leq x\leq y\leq b\), si ha \(f(y)\geq f(x)\).
Dimostrazione
Seguiamo la falsariga della dimostrazione del Teorema del Valor Medio (Teorema di Lagrange), avvalendoci della seguente variante del Teorema di Rolle, che subito dimostriamo.
Lemma. Se \(f(x)\) è una funzione continua in \([a,b]\) che ammette derivata destra \(f’_+(x)\) in \([a,b)\), e tale per cui \(f(a) = f(b)\), allora esistono due punti \(\alpha\) e \(\beta\) in \([a,b)\) per i quali vale, rispettivamente, \(f’_+(\alpha)\geq 0\) e \(f’_+(\beta)\leq 0\).
Essendo \(f(x)\) continua in un intervallo chiuso e limitato, per il Teorema di Weierstrass essa ammette massimo e minimo all’interno dell’intervallo. Se \(f(a)=f(b)\) è sia massimo che minimo, allora la funzione è costante e l’asserto è dimostrato. Se \(f(a) = f(b)\) è punto di minimo, allora il massimo \(\beta\) appartiene all’intervallo aperto \((a,b)\) ed è \(f(x)\leq f(\beta)\) per ogni \(x\) in \([a,b]\). Dunque, se \(x\in(\beta,b)\), si ha \(\frac{f(x)-f(\beta)}{x-\beta}\leq 0\) e, di conseguenza \(f’_+(\beta)\leq 0\). Inoltre, essendo \(a\) punto di minimo, abbiamo \(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\geq 0\) per ogni \(x\in(a,b)\). Quindi \(f’_+(a)\geq 0\) e possiamo scegliere \(\alpha = a\). La dimostrazione procede in maniera analoga nel caso in cui \(f(a) = f(b)\) sia punto di massimo, e nel caso in cui massimo e minimo siano entrambi nell’intervallo aperto \((a,b)\).\(\square\)
Siamo pronti ora a dimostrare il Teorema, per assurdo. Supponiamo, cioè, esistano due valori \(c_1 < c_2\) in \([a,b]\) tali per cui \(f(c_1)>f(c_2)\) e costruiamo la funzione ausiliaria
\[F(x) = f(c_2)-f(x)+K(x-c_2)\]
con
\[K=\frac{f(c_2)-f(c_1)}{c_2-c_1}< 0.\]
\(F(x)\) soddisfa le condizioni del Lemma. Infatti \(F(c_1) = F(c_2)=0\) e \(F(x)\) ammette derivata destra pari a
\begin{eqnarray}\lim_{h\rightarrow 0^+} &=& \frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\\ &=&\lim_{h\rightarrow 0^+} \frac{-f(x+h)+f(x)+Kh}{h}=\\ &=& -f’_+(x) + K.\tag{1}\label{eq198:1}\end{eqnarray}
Conseguentemente, deve esistere un punto \(c\in [c_1,c_2)\) in cui
\[F’_+(c) \geq 0,\]
che, unitamente a \eqref{eq198:1}, ci dà
\[f’_+(c) \leq K<0,\]
in contraddizione con l’ipotesi. E il Teorema è dunque dimostrato.