Ho trovato il seguente curioso esercizio nel testo Problems and Theorems in Analysis I, di Pólya and Szegö e ho pensato di proporlo qui, dal momento che la soluzione richiede soltanto nozioni di calcolo combinatorio abbastanza semplici.
Data la serie armonica \[\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k},\] che sappiamo essere divergente, dimostra che la serie \(S\) ottenuta rimuovendo dalla somma le frazioni i cui denominatori contengono la cifra \(9\) è convergente .
Cerchiamo, con il procedimento seguente, ti trovare un limite superiore alla somma della serie.
- Quanti fra i numeri compresi tra \(1\) e \(9\), estremi inclusi, non contengono la cifra \(9\)? Tutti questi numeri sono maggiori o uguali a \(1\). Quanti fra i numeri tra \(10\) e \(99\), estremi inclusi, non contengono la cifra \(9\)? Tutti questi numeri sono maggiori o uguali a \(10\).
- Generalizza la risposta al punto 2. Per \(m = 1,2,\dots\), scrivi una formula che fornisce la quantità di numeri compresi tra \(10^{m-1}\) e \(10^{m}-1\), estremi inclusi, che non contengono, nella loro rappresentazione decimale, la cifra \(9\). Per fare ciò, osserva che questi numeri hanno come cifra più significativa un qualsiasi numero compreso tra \(1\) e \(8\), mentre le altre cifre sono comprese tra \(0\) e \(8\). Osserva, infine, che i numeri considerati sono maggiori o uguali a \(10^{m-1}\).
- Usa i risultati del punto precedente per ottenere \[S \leq \sum_{m=1}^{+\infty} 8\cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{m-1}.\]
- Sfruttando il fatto che, se \(|a| < 1\), \[\sum_{k=0}^{+\infty}a^k = \frac{1}{1-a},\] dimostra che \[S\leq 80.\]